semi grup, monoid , quasi dan loop

MATERI SEMIGRUP, MONOID, QUASI GRUP DAN LOOP.

Sebelum mempelajari grup abstrak, sebaiknya memahami dulu tentang semigrup, monoid, quasi grup dan loop. Dari bab lalu telah kita pahami tentang operasi biner. Struktur aljabar dengan operasi biner yang bersifat tertutup disebut grupoid. Dari grupoid ini akan diberikan sifat-sifat tambahan yang nantinya akan menjadi struktur aljabar lain bernama semigrup, monoid, quasi grup dan loop.

A.                Semigrup

Semigrup adalah Grup G yang tidak kosong dengan operasi biner *  bersifat tertutp dan assosiatif.

Contoh: grupoid (N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·),  (Z–{0}, · ), (R-{0}, · ), (Q⁺, ·), (R⁺, ·) masing-masing merupakan semigrup.

Contoh lain: operasi biner * didefinisikan a*b = a + b + ab, untuk semua a,b Є Z. ambil sembarang tiga elemen dalam Z yaitu a, b, c Є Z.

Akan dibuktikan bahwa (a*b)*c = a*(b*c)

(a*b)*c = (a + b + ab) * c

= a + b + ab + c + (a + b + ab)c

= a + b + c + ab + ac + bc + abc

a*(b*c) = a*(b + c +bc)                   

= a + b + c + bc + a(b + c + bc)

= a+ b + c + ab + ac + bc + abc

Jadi (a*b)*c = a*(b*c) maka (Z,*) bersifat assosiatif sehingga (Z,*) merupakan semigrup.

Contoh lain:

(G, ·)	a	b	c	d
a	b	c	d	a
b	d	a	b	c
c	a	b	c	d
d	c	d	a	b

Apakah grupoid (G, ·) pada tabel di atas merupakan semigrup?

Penyelesaian:

Diambil a, a, a Є G apakah (a·a) ·a = a·(a·a)

b·a = a·b

d = c (tidak assosiatif)

Diambil a, a, b Є G apakah (a·a) ·b = a·(a·b)

b·b = a·c

a = d (tidak assosiatif)

Diambil a, b, c Є G apakah (a·b) ·c = a·(b·c)

c·c = a·b

c = c (assosiatif)

karena tidak semua elemen dalam G bersifat assosiatif maka (G, ·) bukan semigrup.

B.                 Monoid

Monoid adalah Semigrup <G,*> yang mempunyai elemen identitas yang tunggal.

Contoh: grupoid (Z,+), (Q,+), (R,+), (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·),  (Z–{0}, · ), (R-{0}, · ), (Q⁺, ·), (R⁺, ·) masing-masing merupakan monoid dan komutatif. (N,+) bukan merupakan monoid sebab nol bukan anggota bilangan asli.

Contoh lain: M =  dengan operasi perkalian matriks merupakan monoid dengan elemen identitas .

Contoh lain: R^R terhadap penjumlahan fungsi yang terdefinisi (f+g)(x) = f(x) + g(x) merupakan monoid sebab memiliki elemen identitas h(x) = 0.

C.                Quasi grup

Di atas telah diuraikan tentang grupoid yang berhubungan dengan sifat komutatif dan memiliki elemen identitas. Ada suatu grupoid yang sama sekali tidak berhubungan dengan kedua sifat tersebut tetapi berhubungan dapat diselesaikannya setiap persamaan kiri dan dan persamaan kanan dengan penyelesaian tunggal dan grupoid ini disebut quasi grup.

Contoh: grupoid (R⁺, ·) merupakan quasi grup sebab untuk setiap a,b Є R⁺ karena untuk setiap a·x = b dan x·a = b maka nilai x dapat ditemukan dan x tunggal.

Contoh lain: Grupoid <R,*> yang didefinisikan x*y = x – y³ merupakan quasi grup sebab untuk setiap a,b Є R, persamaan a*x = b dan x*a =b selalu dapat diselesaikan dan penyelesaiannya tunggal.

Persamaan kiri: a*x = b à a - x³ = b à x = , dan x tunggal.

Persamaan kanan: x*a = b à x – a³ = b àx = b + a³, dan x tunggal.

Contoh lain:

Perhatikan keempat tabel cayley berikut:

·	a	b
a	a	b
b	b	a

  (tabel 1)

·	a	b	c
a	a	c	b
b	b	a	c
c	c	b	a

          (tabel 2)

·	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	d	c	a
c	d	c	a	b
d	c	a	b	c

                (tabel 3)

·	a	b	c
a	a	c	b
b	b	a	a
c	c	b	c

           (tabel 4)

Perhatikan tabel 1 dan tabel 2 setiap baris atau kolom memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga berlaku hukum konselasi kanan dan konselasi kiri. Karena berlaku hukum konselasi kanan dan hukum konselasi kiri maka dapat diselesaikan dengan jawaban yang tunggal. Sehingga tabel 1 dan tabel 2 merupakan quasi grup. Sedangkan tabel 3 dan tabel 4 bukan merupakan quasi grup sebab tidak setiap baris atau kolom memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga tidak berlaku hukum konselasi kanan maupun hukum konselasi kiri, dengan kata lain tabel 3 dan tabel 4 bukan merupakan quasi grup.

D.                Loop

Loop adalah quasi grup yang memiliki elemen identitas.

Contoh:

·	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

(tabel 1)

·	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	a	d	c
c	c	d	a	b
d	d	c	b	a

(tabel 2)

Perhatikan bahwa setiap kolom dan setiap baris pada tabel 1 dan tabel 2 memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga berlaku hukum konselasi kiri dan hukum konselasi kanan. Tabel 1 dan tabel 2 merupakan quasi grup dengan masing-masing elemen identitasnya a dan a sehingga tabel 1 dan tabel 2 merupakan loop.

Contoh lain:

·	a	b	c
a	a	b	c
b	c	a	b
c	b	c	a

(tabel 1)

·	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	c	d	a	b
c	b	c	d	a
d	d	a	b	c

(tabel 2)

Tabel 1 dan tabel 2 tersebut merupakan quasi grup (sebab?) tetapi tidak memiliki elemen identitas sehingga bukan merupakan loop.

Latihan.

1.      M =  dengan operasi perkalian matriks apakah merupakan monoid?

2.      Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan G = RxR. Operasi * pada G didefinisikan (a,b)*(c,d) = (ad+bc, bd), untuk semua (a,b),(c,d)  G. Apakah <G,*> suatu monoid?

3.      Selidiki apakah grupoid <C,*> yang didefinisikan a*b = a² – b untuk semua a, b Є C merupakan quasi grup?

4.      Selidiki apakah (Q-{1},*) dengan definisi x*y = x + y – xy merupakan loop?

Share this

Unknown