MATERI SEMIGRUP,
MONOID, QUASI GRUP DAN LOOP.
Sebelum mempelajari grup abstrak, sebaiknya memahami
dulu tentang semigrup, monoid, quasi grup dan loop. Dari bab lalu telah kita
pahami tentang operasi biner. Struktur aljabar dengan operasi biner yang
bersifat tertutup disebut grupoid. Dari grupoid ini akan diberikan sifat-sifat
tambahan yang nantinya akan menjadi struktur aljabar lain bernama semigrup, monoid,
quasi grup dan loop.
A.
Semigrup
Semigrup adalah Grup G yang tidak
kosong dengan operasi biner * bersifat tertutp
dan assosiatif.
Contoh: grupoid (N,+), (Z,+), (Q,+),
(R,+), (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (Z–{0}, · ), (R-{0}, · ), (Q+, ·), (R+, ·) masing-masing merupakan semigrup.
Contoh lain: operasi biner *
didefinisikan a*b = a + b + ab, untuk semua a,b Є Z. ambil sembarang tiga elemen
dalam Z yaitu a, b, c Є Z.
Akan
dibuktikan bahwa (a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c
= (a + b + ab) * c
=
a + b + ab + c + (a + b + ab)c
=
a + b + c + ab + ac + bc + abc
a*(b*c) = a*(b + c
+bc)
= a + b + c + bc +
a(b + c + bc)
= a+ b + c + ab + ac
+ bc + abc
Jadi (a*b)*c =
a*(b*c) maka (Z,*) bersifat assosiatif sehingga (Z,*) merupakan semigrup.
Contoh lain:
(G, ·)
|
a
|
b
|
c
|
d
|
a
|
b
|
c
|
d
|
a
|
b
|
d
|
a
|
b
|
c
|
c
|
a
|
b
|
c
|
d
|
d
|
c
|
d
|
a
|
b
|
Apakah grupoid (G, ·) pada
tabel di atas merupakan semigrup?
Penyelesaian:
Diambil a, a, a Є G apakah (a·a) ·a = a·(a·a)
b·a = a·b
d = c (tidak assosiatif)
Diambil a, a, b Є G apakah (a·a) ·b = a·(a·b)
b·b = a·c
a = d (tidak assosiatif)
Diambil a, b, c Є G apakah (a·b) ·c = a·(b·c)
c·c = a·b
c = c (assosiatif)
karena tidak semua elemen dalam G bersifat assosiatif maka (G, ·) bukan semigrup.
B.
Monoid
Monoid adalah Semigrup <G,*> yang
mempunyai elemen identitas yang tunggal.
Contoh: grupoid (Z,+), (Q,+), (R,+),
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (Z–{0}, · ), (R-{0}, · ), (Q+, ·), (R+, ·) masing-masing merupakan monoid dan komutatif. (N,+) bukan
merupakan monoid sebab nol bukan anggota bilangan asli.
Contoh lain: M =
dengan operasi perkalian matriks merupakan
monoid dengan elemen identitas
.
Contoh lain: RR
terhadap penjumlahan fungsi yang terdefinisi (f+g)(x) = f(x) + g(x) merupakan
monoid sebab memiliki elemen identitas h(x) = 0.
C.
Quasi grup
Di atas telah diuraikan tentang grupoid
yang berhubungan dengan sifat komutatif dan memiliki elemen identitas. Ada
suatu grupoid yang sama sekali tidak berhubungan dengan kedua sifat tersebut
tetapi berhubungan dapat diselesaikannya setiap persamaan kiri dan dan
persamaan kanan dengan penyelesaian tunggal dan grupoid ini disebut quasi grup.
Contoh: grupoid (R+, ·) merupakan quasi grup sebab untuk setiap a,b Є R+ karena untuk setiap a·x = b dan x·a = b maka nilai x dapat ditemukan dan x tunggal.
Contoh lain: Grupoid <R,*> yang
didefinisikan x*y = x – y3 merupakan quasi grup sebab untuk setiap
a,b Є R,
persamaan a*x = b dan x*a =b selalu dapat diselesaikan dan penyelesaiannya
tunggal.
Persamaan
kiri: a*x = b à a - x3 =
b à x =
, dan x tunggal.
Persamaan
kanan: x*a = b à x – a3 = b àx = b + a3, dan x tunggal.
Contoh
lain:
Perhatikan
keempat tabel cayley berikut:
·
|
a
|
b
|
a
|
a
|
b
|
b
|
b
|
a
|
(tabel
1)
·
|
a
|
b
|
c
|
a
|
a
|
c
|
b
|
b
|
b
|
a
|
c
|
c
|
c
|
b
|
a
|
(tabel 2)
·
|
a
|
b
|
c
|
d
|
a
|
a
|
b
|
c
|
d
|
b
|
b
|
d
|
c
|
a
|
c
|
d
|
c
|
a
|
b
|
d
|
c
|
a
|
b
|
c
|
(tabel
3)
·
|
a
|
b
|
c
|
a
|
a
|
c
|
b
|
b
|
b
|
a
|
a
|
c
|
c
|
b
|
c
|
(tabel 4)
Perhatikan
tabel 1 dan tabel 2 setiap baris atau kolom memiliki elemen-elemen yang berbeda
sehingga berlaku hukum konselasi kanan dan konselasi kiri. Karena berlaku hukum
konselasi kanan dan hukum konselasi kiri maka dapat diselesaikan dengan jawaban
yang tunggal. Sehingga tabel 1 dan tabel 2 merupakan quasi grup. Sedangkan
tabel 3 dan tabel 4 bukan merupakan quasi grup sebab tidak setiap baris atau
kolom memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga tidak berlaku hukum
konselasi kanan maupun hukum konselasi kiri, dengan kata lain tabel 3 dan tabel
4 bukan merupakan quasi grup.
D.
Loop
Loop adalah quasi grup
yang memiliki elemen identitas.
Contoh:
·
|
a
|
b
|
c
|
a
|
a
|
b
|
c
|
b
|
b
|
c
|
a
|
c
|
c
|
a
|
b
|
(tabel 1)
·
|
a
|
b
|
c
|
d
|
a
|
a
|
b
|
c
|
d
|
b
|
b
|
a
|
d
|
c
|
c
|
c
|
d
|
a
|
b
|
d
|
d
|
c
|
b
|
a
|
(tabel 2)
Perhatikan bahwa setiap kolom dan
setiap baris pada tabel 1 dan tabel 2 memiliki elemen-elemen yang berbeda
sehingga berlaku hukum konselasi kiri dan hukum konselasi kanan. Tabel 1 dan
tabel 2 merupakan quasi grup dengan masing-masing elemen identitasnya a dan a
sehingga tabel 1 dan tabel 2 merupakan loop.
Contoh lain:
·
|
a
|
b
|
c
|
a
|
a
|
b
|
c
|
b
|
c
|
a
|
b
|
c
|
b
|
c
|
a
|
(tabel 1)
·
|
a
|
b
|
c
|
d
|
a
|
a
|
b
|
c
|
d
|
b
|
c
|
d
|
a
|
b
|
c
|
b
|
c
|
d
|
a
|
d
|
d
|
a
|
b
|
c
|
(tabel 2)
Tabel 1 dan tabel 2 tersebut merupakan
quasi grup (sebab?) tetapi tidak memiliki elemen identitas sehingga bukan
merupakan loop.
Latihan.
1.
M =
dengan operasi perkalian matriks apakah
merupakan monoid?
2.
Misalkan R adalah himpunan
semua bilangan real dan G = RxR. Operasi * pada G didefinisikan (a,b)*(c,d) =
(ad+bc, bd), untuk semua (a,b),(c,d)
G. Apakah <G,*> suatu monoid?
3.
Selidiki apakah grupoid
<C,*> yang didefinisikan a*b = a2 – b untuk semua a, b Є C merupakan quasi grup?
4.
Selidiki apakah (Q-{1},*)
dengan definisi x*y = x + y – xy merupakan loop?
0 Comment to "semi grup, monoid , quasi dan loop"
Post a Comment