Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras

1. PEMBUKTIAN  DALIL  PYTHAGORAS

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku  Dalil Pythagoras , yaitu  :

c²    =    a²   +    b²          

 atau

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus

Pembuktian Dalil Pythagoras ada berbagai cara salah satunya yaitu  : 

Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku 

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus  :   c2   =   a2   +    b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus  :   a2   =   c2   -    b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus  :   b2   =   c2   -    a2

CONTOH 1 :
Sebuah segitiga ABC siku-siku di titik A.  Panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm.
Hitunglah panjang BC !

CONTOH 2 :

Pada gambar di samping, diketahui a = 10 dan c = 6 cm. Hitunglah nilai b !

Tripel Pytagoras

Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :

c2	=	a2+b2	atau
b2	=	c2-a2	atau
a2	=	c2-b2

CONTOH :

Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?

a. 9, 12, 15

b. 13, 14, 15

c. 5, 12, 13

PENYELESAIAN

a.	Angka terbesar 15, maka c = 15, a =  12 dan b = 9      152     =  122   +  92      225   =   144  + 81      225   =    225     Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras
b.	Angka terbesar 15, maka c = 15, a =  13 dan b = 14      152     ¹  132   + 142      225   ¹   169  + 196      225   ¹    365      Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras
c.	Angka terbesar 13, maka c = 13, a =  12 dan b= 5      132      =    122   +  52      169    =     144  +25      169   =      169      Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras

Jenis Segitiga

Hubungan nilai c² dengan ( a² + b² ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan :

	c2 >  a2 + b2  , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
	c2 =  a2 + b2  , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku
	c2 <  a2 + b2  , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip

CONTOH :

Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya :

a. 6, 8, 10

b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4

c. 11, 12, 14

PENYELESAIAN :

a.	Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102    =    62   +  82 100    =    36  +   64 100    =    100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku
b.	Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42     >    0,22   +  0,32 0,16     >    0,04   +  0,09 0,16    >    0,13 Jenis segitiga adalah segitiga tumpul
c.	Untuk sisi segitiga 11,  12, 14 142      <    112    +  122 196     <    121   +  144  196     <    265 Jenis segitiga adalah segitiga lancip

semi grup, monoid , quasi dan loop

MATERI SEMIGRUP, MONOID, QUASI GRUP DAN LOOP.

Sebelum mempelajari grup abstrak, sebaiknya memahami dulu tentang semigrup, monoid, quasi grup dan loop. Dari bab lalu telah kita pahami tentang operasi biner. Struktur aljabar dengan operasi biner yang bersifat tertutup disebut grupoid. Dari grupoid ini akan diberikan sifat-sifat tambahan yang nantinya akan menjadi struktur aljabar lain bernama semigrup, monoid, quasi grup dan loop.

A.                Semigrup

Semigrup adalah Grup G yang tidak kosong dengan operasi biner *  bersifat tertutp dan assosiatif.

Contoh: grupoid (N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·),  (Z–{0}, · ), (R-{0}, · ), (Q⁺, ·), (R⁺, ·) masing-masing merupakan semigrup.

Contoh lain: operasi biner * didefinisikan a*b = a + b + ab, untuk semua a,b Є Z. ambil sembarang tiga elemen dalam Z yaitu a, b, c Є Z.

Akan dibuktikan bahwa (a*b)*c = a*(b*c)

(a*b)*c = (a + b + ab) * c

= a + b + ab + c + (a + b + ab)c

= a + b + c + ab + ac + bc + abc

a*(b*c) = a*(b + c +bc)                   

= a + b + c + bc + a(b + c + bc)

= a+ b + c + ab + ac + bc + abc

Jadi (a*b)*c = a*(b*c) maka (Z,*) bersifat assosiatif sehingga (Z,*) merupakan semigrup.

Contoh lain:

(G, ·)	a	b	c	d
a	b	c	d	a
b	d	a	b	c
c	a	b	c	d
d	c	d	a	b

Apakah grupoid (G, ·) pada tabel di atas merupakan semigrup?

Penyelesaian:

Diambil a, a, a Є G apakah (a·a) ·a = a·(a·a)

b·a = a·b

d = c (tidak assosiatif)

Diambil a, a, b Є G apakah (a·a) ·b = a·(a·b)

b·b = a·c

a = d (tidak assosiatif)

Diambil a, b, c Є G apakah (a·b) ·c = a·(b·c)

c·c = a·b

c = c (assosiatif)

karena tidak semua elemen dalam G bersifat assosiatif maka (G, ·) bukan semigrup.

B.                 Monoid

Monoid adalah Semigrup <G,*> yang mempunyai elemen identitas yang tunggal.

Contoh: grupoid (Z,+), (Q,+), (R,+), (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·),  (Z–{0}, · ), (R-{0}, · ), (Q⁺, ·), (R⁺, ·) masing-masing merupakan monoid dan komutatif. (N,+) bukan merupakan monoid sebab nol bukan anggota bilangan asli.

Contoh lain: M =  dengan operasi perkalian matriks merupakan monoid dengan elemen identitas .

Contoh lain: R^R terhadap penjumlahan fungsi yang terdefinisi (f+g)(x) = f(x) + g(x) merupakan monoid sebab memiliki elemen identitas h(x) = 0.

C.                Quasi grup

Di atas telah diuraikan tentang grupoid yang berhubungan dengan sifat komutatif dan memiliki elemen identitas. Ada suatu grupoid yang sama sekali tidak berhubungan dengan kedua sifat tersebut tetapi berhubungan dapat diselesaikannya setiap persamaan kiri dan dan persamaan kanan dengan penyelesaian tunggal dan grupoid ini disebut quasi grup.

Contoh: grupoid (R⁺, ·) merupakan quasi grup sebab untuk setiap a,b Є R⁺ karena untuk setiap a·x = b dan x·a = b maka nilai x dapat ditemukan dan x tunggal.

Contoh lain: Grupoid <R,*> yang didefinisikan x*y = x – y³ merupakan quasi grup sebab untuk setiap a,b Є R, persamaan a*x = b dan x*a =b selalu dapat diselesaikan dan penyelesaiannya tunggal.

Persamaan kiri: a*x = b à a - x³ = b à x = , dan x tunggal.

Persamaan kanan: x*a = b à x – a³ = b àx = b + a³, dan x tunggal.

Contoh lain:

Perhatikan keempat tabel cayley berikut:

·	a	b
a	a	b
b	b	a

  (tabel 1)

·	a	b	c
a	a	c	b
b	b	a	c
c	c	b	a

          (tabel 2)

·	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	d	c	a
c	d	c	a	b
d	c	a	b	c

                (tabel 3)

·	a	b	c
a	a	c	b
b	b	a	a
c	c	b	c

           (tabel 4)

Perhatikan tabel 1 dan tabel 2 setiap baris atau kolom memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga berlaku hukum konselasi kanan dan konselasi kiri. Karena berlaku hukum konselasi kanan dan hukum konselasi kiri maka dapat diselesaikan dengan jawaban yang tunggal. Sehingga tabel 1 dan tabel 2 merupakan quasi grup. Sedangkan tabel 3 dan tabel 4 bukan merupakan quasi grup sebab tidak setiap baris atau kolom memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga tidak berlaku hukum konselasi kanan maupun hukum konselasi kiri, dengan kata lain tabel 3 dan tabel 4 bukan merupakan quasi grup.

D.                Loop

Loop adalah quasi grup yang memiliki elemen identitas.

Contoh:

·	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

(tabel 1)

·	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	a	d	c
c	c	d	a	b
d	d	c	b	a

(tabel 2)

Perhatikan bahwa setiap kolom dan setiap baris pada tabel 1 dan tabel 2 memiliki elemen-elemen yang berbeda sehingga berlaku hukum konselasi kiri dan hukum konselasi kanan. Tabel 1 dan tabel 2 merupakan quasi grup dengan masing-masing elemen identitasnya a dan a sehingga tabel 1 dan tabel 2 merupakan loop.

Contoh lain:

·	a	b	c
a	a	b	c
b	c	a	b
c	b	c	a

(tabel 1)

·	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	c	d	a	b
c	b	c	d	a
d	d	a	b	c

(tabel 2)

Tabel 1 dan tabel 2 tersebut merupakan quasi grup (sebab?) tetapi tidak memiliki elemen identitas sehingga bukan merupakan loop.

Latihan.

1.      M =  dengan operasi perkalian matriks apakah merupakan monoid?

2.      Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan G = RxR. Operasi * pada G didefinisikan (a,b)*(c,d) = (ad+bc, bd), untuk semua (a,b),(c,d)  G. Apakah <G,*> suatu monoid?

3.      Selidiki apakah grupoid <C,*> yang didefinisikan a*b = a² – b untuk semua a, b Є C merupakan quasi grup?

4.      Selidiki apakah (Q-{1},*) dengan definisi x*y = x + y – xy merupakan loop?